Analisi Matematica II (Programma sintetico):
Calcolo differenziale e integrale in piu' variabili, ovvero:
Lo spazio R^n. Curve, integrali curvilinei.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili, a valori reali; ottimizzazione libera e vincolata.
Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali; superfici in forma parametrica.
Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili.
Campi vettoriali ed integrali di linea relativi. Integrali di superficie.
Testo di riferimento:
Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa,
Analisi matematica 2, Ed. Zanichelli Bologna (acquistare sempre l'edizione piu' recente).
Nota: I temi affrontati nel corso sono 'ultra-classici', e percio' trattati in tutti i testi con titolo (italiano) "Analisi Matematica II".
Altri testi consigliati:
Walter Rudin
Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa
Analisi matematica 2, seconda edizione, Zanichelli.
Enrico Giusti
Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 3^ edizione interamente riveduta ed ampliata 2003.
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica
Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006.
Di testi che discutono problemi ed esercizi traboccano biblioteche e librerie; un ottimo libro e' quello di
Boris P. Demidovic
Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010.
Prerequisiti
Prerequisiti: Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali di una variabile.
Precedenze (formali): Analisi Matematica I, Geometria
Metodi Didattici
Lezioni (in aula, alla lavagna), in assenza di rigida separazione di teoria e pratica.
La discussione di problemi/esercizi assegnati (generalmente con cadenza bisettimanale) dalla docente e' parte integrante del corso.
Altre Informazioni
Durata del corso: 13 settimane, dal 26 Settembre al 23 Dicembre 2016; 54 ore nominali
Orario delle lezioni:
Mar. ore 14:15-17:00 (tre ore, con due pause) presso il Centro Didattico Morgagni
Gio. ore 8:30-10:15, (due ore, con una pausa) presso la sede della Scuola (Via S. Marta)
Modalità di verifica apprendimento
La prova d'esame del Corso Integrato (C.I.) consiste di prove distinte per i due differenti moduli, da effettuare nello stesso appello oppure in appelli differenti (in assenza di vincoli in merito all'ordine cronologico, ma con l'indicazione di non dilazionare eccessivamente nell'A.A. la prova affrontata per seconda); ad esse segue una valutazione complessiva effettuata collegialmente dai docenti.
Specificamente riguardo al Modulo "Analisi Matematica II":
Prova scritta (della durata di due ore e mezza) e -- se ammessi -- successiva prova orale, a stretto giro.
Si e' ammessi al colloquio con giudizio almeno "Quasi sufficiente"; per il colloquio occorre prevedere di discutere l'elaborato.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte della docente, la prova orale non puo' essere procrastinata ad altri appelli.
Programma del corso
Premessa:
Il programma esteso seguente e' indicativo; in particolare, i temi contrassegnati da * potrebbero non rientrare nel programma definitivo.
Il programma dettagliato si desume dal Registro delle lezioni consultabile
dal sito della docente alla voce Didattica (Teaching Activity), A.A. 2015/16
Analisi Matematica II (Bucci Francesca)
Richiami sullo spazio R^n: prodotto scalare, norma euclidea, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, subadditivita' della norma.
Curve in forma parametrica: sostegno, orientazione, curve semplici, curve chiuse.
Esempi. Casi particolari di curve piane: grafici di funzioni, curve in forma polare.
Vettore velocita' e retta tangente; curve regolari e regolari a tratti.
Parametrizzazioni equivalenti. Curve rettificabili, lunghezza di una curva; formula per la lunghezza di una curva regolare. Il parametro lunghezza d'arco, integrali curvilinei di prima specie. Applicazioni fisiche e geometriche.
Funzioni di piu' variabili, a valori reali: grafici, insiemi di livello.
Elementi di topologia in R^n: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti interni, punti d'accumulazione.
Limiti e continuita'. Proprieta' delle funzioni continue: il Teorema di Weierstrass, il Teorema degli zeri.
Derivate direzionali, derivate parziali. Approssimazione lineare e differenziabilita'.
Piano tangente e vettore normale al grafico. Vettore gradiente, differenziale.
Condizioni sufficienti per la differenziabilita': il Teorema del differenziale totale. Derivazione di funzioni composte: casi rilevanti, regola della catena.
Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive: funzioni di classe C^k, matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine.
Ottimizzazione libera: punti di estremo relativo, condizioni "del prim'ordine" per l'esistenza di punti di estremo, il Teorema di Fermat.
*[Forme quadratiche in R^n, classificazione: forme definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Test degli autovalori. Condizioni "del second'ordine": condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per una funzione di classe C^2.]
Funzioni definite implicitamente: Teorema delle funzioni implicite (o di Dini).
Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali: generalita', matrice jacobiana.
Superfici in forma parametrica: sostegno, superfici regolari, piano tangente; superfici regolari a pezzi. Esempi. Trasformazioni di coordinate, invertibilita' locale e globale di trasformazioni.
Ottimizzazione vincolata: Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Integrale secondo Riemann di funzioni di piu' variabili.
Integrale di una funzione continua in un rettangolo. Funzioni integrabili su insiemi semplici, regolari, misurabili (secondo Peano-Jordan). Caratterizzazione degli insiemi di misura nulla.
Classi di funzioni integrabili. Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione.
Cambiamento di variabili negli integrali multipli.
Applicazioni fisiche: calcolo di baricentri e di momenti d'inerzia.
Campi vettoriali, linee di campo. Divergenza e rotore. Integrale di un campo vettoriale lungo una curva orientata. Campi conservativi, potenziali; caratterizzazione mediante gli integrali curvilinei. Campi irrotazionali, insiemi semplicemente connessi. Esempi.
*Campi solenoidali e potenziale vettore.
*Formule di Gauss-Green nel piano.
Area di una superficie. Integrali di superficie di funzioni.
Integrale di superficie di un campo, flusso. Teorema della divergenza.
*Formula di Stokes in R^3.