B019481 - ANALISI MATEMATICA I

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Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Equazioni differenziali ordinarie.

1) Numeri reali; 2) Limiti e continuita' per funzioni di una variabile; 3) Calcolo Differenziale; 4) Calcolo Integrale; 5) Serie Numeriche; 6) Equazioni Differenziali Ordinarie

Bertsch - Dal Passo - Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edizione, McGraw-Hill.

1) Testo di riferimento: Bertsch - Dal Passo - Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edi-
zione, McGraw-Hill.

2) Altri testi consigliati: qualsiasi testo di Analisi Matematica I e in particolare
"Note ed Esercizi di Calcolo 1" A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella. Pitagora, Bologna

Conoscenza teorica e pratica degli argomenti di base del calcolo differenziale e integrale.

Conoscenza teorica e pratica degli argomenti di base relativi alle funzioni reali di una variabile reale con particolare riferimento a limiti e continuita', serie numeriche, calcolo differenziale e integrale, equazioni differenziali lineari.

Conoscenze standard di matematica apprese nella scuola secondaria. In particolare: numeri reali; funzioni esponenziali, logaritmiche e trgonometriche.

1) Aritmetica ed algebra.
Proprieta' e operazioni sui numeri (interi, razionali, reali). Valore assoluto. Potenze e
radici. Logaritmi ed esponenziali. Calcolo letterale. Polinomi (operazioni, decomposizione
in fattori). Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado o ad esse ridu-
cibili. Sistemi di equazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni razionali fratte e con
radicali.
2) Geometria.
Segmenti ed angoli; loro misura e proprieta'. Rette e piani. Luoghi geometrici notevoli.
Proprieta' delle principali figure geometriche piane (triangoli, circonferenze, cerchi, poligo-
ni regolari, ecc.) e relative lunghezze ed aree. Propriet à delle principali figure geometriche
solide (sfere, coni, cilindri, prismi, parallelepipedi, piramidi, ecc.) e relativi volumi ed aree
della superficie.
3) Geometria analitica e funzioni numeriche.
Coordinate cartesiane. Il concetto di funzione. Equazioni di rette e di semplici luoghi
geometrici (circonferenze, ellissi, parabole, ecc.). Grafici e proprieta' delle funzioni ele-
mentari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.). Calcoli con l'uso dei logaritmi. Equazioni
e disequazioni logaritmiche ed esponenziali.
4) Trigonometria.
Grafici e proprieta' delle funzioni seno, coseno e tangente. Le principali formule trigo-
nometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione). Equazioni e disequazioni
trigonometriche. Relazioni fra elementi di un triangolo.

Lezioni ed esercitazioni frontali.

Lezioni ed esercitazioni frontali

Prova scritta e orale.

Prova scritta e orale.

1) ELEMENTI DI BASE. Numeri reali e linguaggio: numeri naturali, interi, razionali, reali,
allineamenti decimali; valore assoluto e distanza; intervalli; estremo superiore (inferiore),
massimo (minimo) di un insieme; proprietà di completezza dei numeri reali; notazioni
insiemistiche, quantificatori, implicazioni, condizioni necessarie e condizioni sufficienti.
Funzioni: definizione, immagine, grafico e sue proprietà, convenzione sul dominio;
restrizione di una funzione; estremo superiore (inferiore), massimo (minimo), punto di
massimo (minimo); funzioni iniettive, suriettive, biunivoche; funzioni invertibili, funzioni
inverse; funzioni composte e loro proprietà; grafici delle funzioni elementari; funzioni mo-
notone, pari, dispari, periodiche; operazioni sui grafici; funzioni definite a tratti.
2) LIMITI E CONTINUITA'. Limiti di successioni e di funzioni: definfizione, unicità del limite,
permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto; limiti di funzioni
monotone; algebra dei limiti e forme indeterminate; simboli di Landau, in finiti e infinitesimi e loro
ordine, parte principale (rispetto a un dato campione); il numero e; limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali; asintoti.
Continuità: definizione; continuità delle funzioni elementari, di somma, prodotto, quoziente e della composizione;
estensione per continuità; teorema degli zeri e del valore intermedio; teorema di Weierstrass.
3) CALCOLO DIFFERENZIALE. Rapporto incrementale e suo significato geometrico e fisico.
Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica ed in termini di approssimazione.
Retta tangente. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspidi,
punti a tangente verticale. Funzione derivata e derivate di ordine superiore. Derivata
delle funzioni elementari. Proprietà delle derivate: somma, prodotto, differenza, quoziente.
Derivata della composizione o regola della catena. Derivata della funzione inversa e
interpretazione geometrica. Teorema di Fermat, punti critici. Esistenza e calcolo degli
estremi locali e globali di funzioni de finite sugli intervalli. Teoremi di Rolle e Lagrange.
Primitive. Funzioni convesse (concave) e loro relazione con le derivate prime e seconde.
Grafici delle funzioni. Teoremi di de L'Hsopital. Approssimazione di Taylor e sua applicazione al calcolo dei limiti
e dello studio locale delle funzioni.
4) INTEGRALI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Il concetto di area di figure
piane. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.
Relazione fra integrale e area. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale. Integrale orientato. Funzioni integrali:
definizione e loro continuità. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo (dimostrazione solo per
le funzioni continue). Formula fondamentale del calcolo integrale. Ricerca delle primitive: integrazione per parti
e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali (con denominatore di grado minore o uguale a 2).
Area della parte di piano compresa fra il grafico di due funzioni. Integrabilità in senso
improprio e assoluta integrabilità sulla semiretta e su un intervallo. Integrale improprio
degli infiniti e infinitesimi di riferimento alle potenze. Criterio del confronto e del confronto asintotico per gli
integrali impropri di funzioni positive.
5) SERIE NUMERICHE. Somme parziali (o ridotte), somma di una serie. Serie regolari e serie oscillanti. Serie geometrica.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica e armonica generalizzata. Serie a termini non
negativi: criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio del rapporto e della radice. Serie a termini
a segno alterno, criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta di una serie.
6) EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) e il problema di
Cauchy: definizione di soluzione. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: teoria generale e soluzioni.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: teoria generale,
soluzioni delle equazioni omogenee a coefficienti costanti; per le equazioni non omogenee si
richiede la soluzione generale solo con suggerimenti atti a trovare la soluzione particolare.

1) ELEMENTI DI BASE. Numeri reali e linguaggio: numeri naturali, interi, razionali, reali,
allineamenti decimali; valore assoluto e distanza; intervalli; estremo superiore (inferiore),
massimo (minimo) di un insieme; proprieta' di completezza dei numeri reali; notazioni
insiemistiche, quantifi catori, implicazioni, condizioni necessarie e condizioni su fficienti.
Funzioni: defi nizione, immagine, grafi co e sue propriet a', convenzione sul dominio;
restrizione di una funzione; estremo superiore (inferiore), massimo (minimo), punto di
massimo (minimo); funzioni iniettive, suriettive, biunivoche; funzioni invertibili, funzioni
inverse; funzioni composte e loro propriet a; gra ci delle funzioni elementari; funzioni mo-
notone, pari, dispari, periodiche; operazioni sui gra ci; funzioni de nite a tratti.
2) LIMITI E CONTINUITA'. Limiti di successioni e di funzioni: de nfizione, unicit a' del li-
mite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto; limiti di funzioni
monotone; algebra dei limiti e forme indeterminate; simboli di Landau, in finiti e infi ni-
tesimi e loro ordine, parte principale (rispetto a un dato campione); il numero e; limiti
notevoli trigonometrici ed esponenziali; asintoti.
Continuit a': defi nizione; continuit a' delle funzioni elementari, di somma, prodotto, quo-
ziente e della composizione; estensione per continuit a'; teorema degli zeri e del valore in-
termedio; teorema di Weierstrass.
3) CALCOLO DIFFERENZIALE. Rapporto incrementale e suo signifi cato geometrico e fi sico.
De nizione di derivata e sua interpretazione geometrica ed in termini di approssimazione.
Retta tangente. Derivabilit a' e continuit a'. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspi-
di, punti a tangente verticale. Funzione derivata e derivate di ordine superiore. Derivata
delle funzioni elementari. Propriet a' delle derivate: somma, prodotto, diff erenza, quozien-
te. Derivata della composizione o regola della catena. Derivata della funzione inversa e
interpretazione geometrica. Teorema di Fermat, punti critici. Esistenza e calcolo degli
estremi locali e globali di funzioni de finite sugli intervalli. Teoremi di Rolle e Lagrange.
Primitive. Funzioni convesse (concave) e loro relazione con le derivate prime e seconde.
Gra fici delle funzioni. Teoremi di de L'H^opital. Approssimazione di Taylor e sua applica-
zione al calcolo dei limiti e dello studio locale delle funzioni.
4) INTEGRALI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Il concetto di area di figure
piane. De finizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.
Relazione fra integrale e area. Classi di funzioni integrabili. Propriet a' dell'integrale. In-
tegrale orientato. Funzioni integrali: defi nizione e loro continuit a'. Teorema della media
integrale. Teorema fondamentale del calcolo (dimostrazione solo per le funzioni continue).
Formula fondamentale del calcolo integrale. Ricerca delle primitive: integrazione per parti
e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali (con denominatore di grado 2).
Area della parte di piano compresa fra il gra co di due funzioni. Integrabilit a' in senso
improprio e assoluta integrabilit a' sulla semiretta e su un intervallo. Integrale improprio
degli infi niti e in finitesimi di riferimento x^(-r). Criterio del confronto e del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni positive.
5) SERIE NUMERICHE. Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie re-
golari e serie oscillanti. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una
serie. La serie armonica e armonica generalizzata. Serie a termini non negativi: criterio
del confronto e del confronto asintotico, criterio del rapporto e della radice. Serie a termini
a segno alterno, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.
6) EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni Di fferenziali Ordinarie (EDO) e il problema di
Cauchy: de finizione di soluzione. Equazioni diff erenziali lineari del primo ordine: teo-
ria generale e soluzioni. Equazioni diff erenziali lineari del secondo ordine: teoria generale,
soluzioni delle equazioni omogenee a coe fficienti costanti, per le equazioni non omogenee si
richiede la soluzione generale solo con suggerimenti atti a trovare la soluzione particolare.