Lo spazio R^n.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili, a valori reali e vettoriali.
Problemi di ottimizzazione libera e vincolata.
Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili.
Curve e integrali curvilinei.
Superfici parametriche, integrali di superficie e di flusso.
Spazi di funzioni. Successioni e serie di funzioni, serie di potenze.
Serie di Fourier.
Testo consigliato per la parte teorica
C. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica Vol. 2, Zanichelli 2009.
Testi consigliati per la parte di esercizi
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2011.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, prima e seconda parte, Liguori, 2017.
Altri testi
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori, 2016
Obiettivi Formativi
Conoscenze: elementi fondamentali di calcolo differenziale ed integrale in piu' variabili; ottimizzazione libera e vincolata per funzioni di più variabili; curve e superfici; successioni e serie di funzioni.
Competenze: autonomia nel proporre, articolare e sostenere con rigore argomentazioni per la risoluzione di problemi attinenti ai temi elencati (cfr. Conoscenze); utilizzo sicuro di simboli e risultati principali; controllo degli errori nel calcolo.
Abilita'/capacita': consolidata capacita' nell'esposizione e nella comunicazione nella scrittura.
Prerequisiti
Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali in una variabile. Successioni e serie numeriche. Algebra lineare e geometria analitica.
Precedenza (formale): insegnamento "Analisi Matematica I", Prerequisito: insegnamento "Geometria"
Metodi Didattici
Lezioni (in aula), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste due prove scritte. La prima prova prevede la risoluzione di esercizi; la seconda prova prevede la risposta a domande teoriche sui contenuti del corso. Si accede alla seconda prova se si è ottenuta la sufficienza nella prima. Il voto finale è una media opportuna dei voti riportati nelle due singole prove.
Programma del corso
Lo spazio euclideo n-dimensionale: prodotto scalare, norma euclidea, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, subadditivita' della norma. Prodotto vettoriale. Cenni di topologia: insiemi aperti, chiusi e compatti.
Funzioni di più variabili. Nozione di funzione; limiti; continuità. Derivate parziali; gradiente; derivate direzionali. Differenziabilità. Derivate seconde, matrice Hessiana. Ottimizzazione: punti di massimo e minimo estremo e assoluto. Criteri per identificare i punti di massimo e minimo. Problemi di ottimizzazione vincolata e tecniche risolutive.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili (solo i casi di due e di tre variabili). Definizione di integrale e sue proprietà fondamentali; integrabilità di alcune classi di funzioni. Insiemi normali e formule di riduzione per il calcolo degli integrali. Cambi di coordinate negli integrali multipli; uso delle coordinate polari.
Curve in forma parametrica: supporto, orientazione. Curve piane, curve parametriche cartesiane. Curve regolari; vettore tangente. Curve rettificabili; lunghezza di una curva e integrali curvilinei. Formule di Gauss-Green.
Superfici nello spazio tridimensionale. Definizioni; esempi. Superfici regolari, piano tangente; vettore normale. Area di una superficie integrali di superficie. Il teorema della divergenza.
Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Convergenza totale per serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Fourier.