Lo spazio R^n. Curve in forma parametrica, integrali di linea.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili, a valori reali.
*[Problemi di ottimizzazione libera e/o vincolata.]
Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali; superfici in forma parametrica.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili.
Campi vettoriali, integrali di linea relativi. Integrali di superficie e di flusso.
Spazi di funzioni. Successioni e serie di funzioni, serie di potenze. Serie di Fourier.
Testo di riferimento:
Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa,
Analisi matematica 2, Ed. Zanichelli Bologna 2009 (acquistare sempre l'edizione piu' recente).
Nota: I temi affrontati nel corso sono classici, e percio' trattati nella maggior parte dei secondi volumi di Analisi Matematica..
Se si e' gia' in possesso (dal primo anno) di un testo che include anche il calcolo differenziale ed integrale in piu' variabili, quello puo' sostituire il testo di riferimento.
Altri testi consigliati:
Walter Rudin
Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa
ANALISI MATEMATICA Volume 2
Masson editore, 1998 (Distribuzione esclusiva Zanichelli), in attesa di nuova edizione.
Enrico Giusti
Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 3^ edizione interamente riveduta ed ampliata 2003.
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica
Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006.
Di testi che discutono problemi ed esercizi traboccano biblioteche e librerie; un ottimo libro e' quello di
Boris P. Demidovic
Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: elementi fondamentali di calcolo differenziale ed integrale in più variabili; curve e superfici. Successioni e serie di funzioni, serie di Fourier.
Competenze: comprensione di problemi attinenti ai temi elencati (cfr. Conoscenze), autonomia nel proporre e sostenere con rigore argomentazioni per la loro risoluzione. Utilizzo sicuro di simboli e risultati principali; controllo degli errori nel calcolo.
Abilità/capacità: formalizzazione di semplici problemi fisico/meccanici in termini analitici; consolidata capacità di comunicazione nella scrittura e nell'esposizione orale;
equilibrio tra autonomia nello studio individuale e partecipatizione attiva nel gruppo.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile, a valori reali.
Successioni e serie numeriche. Equazioni Differenziali Ordinarie.
Algebra lineare e geometria analitica.
Lezioni (in aula), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica. La discussione di esercizi/problemi assegnati ed eventualmente di qualche dimostrazione è parte integrante del corso. Didattica capovolta.
Altre Informazioni
Durata del corso: 13 settimane nominali, dal 20 sett. al 15 dic. 2022, esclusi il 1^ nov. e l'8 dic. (feste nazionali); 81 ore
Modalità di verifica apprendimento
La prova d'esame comprende (i) una prova scritta (equivalente a due prove in itinere) e (ii) un colloquio.
(i) Il testo della prova scritta, incentrata sui temi affrontati nel corso, propone sia quesiti elementari sia problemi più articolati (questi ultimi richiedono uno svolgimento dettagliato, corredato di spiegazioni); alcuni esempi sono reperibili nella piattaforma Moodle. (Occorre prevedere di discutere l'elaborato, se pur brevemente.)
Verranno organizzate due prove (scritte) in itinere, rispettivamente a metà e alla fine del corso. Una valutazione non inferiore a 12 nella prima consente l'accesso alla seconda prova; il superamento delle prove parziali (con una media non inferiore a 15) solleva dalla prova scritta.
(ii) La prova orale - obbligatoria per coloro che abbiano ottenuto una valutazione nella prova scritta fino a 20 - verte su definizioni, panoramiche, enunciati di risultati, alcune dimostrazioni (precisate in Moodle). Proposte di temi per prove orali in forma seminariale (presentazioni) saranno fornite dalla docente, assieme a riferimenti bibliografici, e concordate con le e gli studenti.
Note:
a) Una valutazione superiore a 20 nella prova scritta esenta dalla prova orale.
b) Si ricorda che gli "appelli" sono distinti tra loro: la prova orale non potrà essere procrastinata ad un appello diverso da quello della prova scritta (salvo casi eccezionali o diversa indicazione da parte della docente).
Programma del corso
Analisi Matematica II (Programma dettagliato) -- AA 2021-2022
1. Lo spazio R^n: strutture lineare e metrica
- Spazi vettoriali dotati di prodotto scalare (pre-hilbertiani), norma indotta dal prodotto scalare, distanza indotta dalla norma.
- Spazi normati, spazi metrici. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Intorni sferici in uno spazio metrico.
- Lo spazio R^n, norma e distanza euclidea.
2. Curve
- Curve in forma parametrica: definizione, equazioni parametriche, sostegno. Curve semplici, curve chiuse. Curve piane, casi di rilievo: curve cartesiane, curve in forma polare. Il sito mathcurve.
- Vettore derivato, velocità, retta tangente. Curve C^1, regolari, regolari a tratti.
- Curve rettificabili: definizione, lunghezza. Formula per la lunghezza di una curva C^1 (o regolare a tratti). Lunghezza di archi di curve cartesiane e polari.
- Integrali di linea di funzioni scalari (detti anche "di prima specie"). Applicazioni fisico-meccaniche.
3. Calcolo differenziale in piu' variabili
- Funzioni di piu' variabili, a valori reali: grafico, insiemi di livello. Restrizioni.
- Elementi di topologia in R^n: punti interni a D contenuto in R^n, punti esterni, punti di frontiera. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Punti d'accumulazione per D.
- Limiti e continuita'. Relazione tra il limite ed il limite delle restrizioni. Classi di funzioni continue.
- Risultati di rilievo per le funzioni continue: valori estremi di una funzione, insiemi limitati, Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione (s.d.)); insiemi connessi per archi, Teoremi dei valori intermedi e degli zeri (s.d.).
- Derivate direzionali, derivate parziali, vettore gradiente. Approssimazione lineare e differenziabilita'; il differenziale.
Piano tangente e vettore normale al grafico in un suo punto. Teorema del differenziale totale. Derivazione di funzioni composte: casi di rilievo, regola della catena.
- Ottimizzazione libera: punti di estremo relativo, il Teorema di Fermat.
- Derivate di ordine superiore. Derivate seconde pure e miste, matrice hessiana, Teorema di Schwarz (s.d.). Funzioni di classe C^k e di classe C^\infty.
- Funzioni definite implicitamente: il Teorema delle funzioni implicite (nel caso di funzioni scalari di due o tre variabili; s.d.).
- Massimi e minimi vincolati: metodo delle curve di lvello, metodi di parametrizzazione del vincolo. Il Teorema dei moltiplicatori dei Lagrange.
- Funzioni (di piu' variabili) a valori vettoriali: generalita', matrice jacobiana. Teorema di derivazione di funzioni composte (caso generale).
- Cambi di coordinate, invertibilita' locale e globale di trasformazioni. Diffeomorfismi: definizione, condizioni equivalenti. Cordinate polari, sferiche, cilindirche.
Il Teorema dell'inversa locale (s.d.).
4. Calcolo integrale in piu' variabili
- Integrale di Riemann per funzioni di due variabili: definizione, interpretazione geometrica. Una funzione non integrabile in un quadrato.
Formula di riduzione per integrali doppi su un rettangolo.
- Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan (in 2-D). Insiemi di misura nulla (o {\em trascurabili}), loro caratterizzazione (s.d.), esempi. Caratterizzazione degli insiemi misurabili (s.d.). Integrale di una funzione limitata in un insieme (limitato) misurabile. Classi di funzioni integrabili: funzioni generalmente continue.
- Il calcolo degli integrali. Insiemi semplici rispetto a un asse, formule di riduzione per integrali doppi. Teorema sul cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.).
Integrali tripli. Formule di riduzione (integrazione "per fili" (per colonne) o per "strati" (per sezioni). Uso delle simmetrie per la semplificazione del calcolo di integrali doppi o tripli.
- Applicazioni geometriche e fisico-meccaniche. Calcolo di aree, volumi, baricentri e momenti d'inerzia mediante integrali doppi e tripli.
- Integrali impropri in pi\`u variabili, il caso di funzioni limitata in un insieme non limitato: (cenni alla) definizione, calcolo dell'integrale della funzione di Gauss exp(-||x||^2) in R^2, R, R^n.
5. Campi vettoriali
- Lavoro di un campo di forze su un cammino. Integrale di un campo vettoriale lungo un arco di curva (detto anche "di seconda specie"): definizione, l'integrale dipende dall'orientazione sul cammino.
- Formule di Green nel piano, Teorema di Gauss-Green, formule per l'area di un dominio racchiuso da una curva di Jordan. Teorema della divergenza (in 2-D).
- Campi conservativi: definizione, potenziali. Implicazioni in termini dell'integrale di linea e della circuitazione del campo.
- Campi di classe C^1: condizione necessaria affinche' il campo sia conservativo in un aperto A di R^n, per n=2. Il caso n=3: campi irrotazionali, l'operatore differenziale rotore. La condizione non e' sufficiente: un esempio paradigmatico.
Insiemi convessi, stellati, semplicemente connessi: definizioni rispettive, esempi illustrativi in R^n, n=2,3. Il Lemma di Poincare' (s.d.). Campi vettoriali localmente conservativi. Un risultato piu' generale che fornisce una condizione sufficiente affinche' un campo irrotazionale in A sia ivi conservativo.
6. Superfici
- Superfici gia' note: superfici cartesiane, superfici di livello. Vettori normali, piano tangente nelle rispettive situazioni.
- Superfici in forma parametrica: definizione, esempi illustrativi. Linee coordinate, condizione di regolarita', vettori e versori normali, piano tangente; superfici parametriche regolari.
- Area di una superficie: procedura inefficace ed esempio di Schwarz (s.d.), procedura con cui si definisce (idea), formula per l'area di una superficie regolare. Area dei grafici. Integrali di superficie. Superfici orientabili, il nastro di Moebius; integrali di flusso.
7. Approssimazione di funzioni
- (Prerequisiti) Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme, metrica lagrangiana. Passaggio al limite sotto il segno di integrale, altre implicazioni della convergenza uniforme. Serie di funzioni, criterio di Weierstrass, convergenza totale e uniforme. Serie di potenze, raggio di convergenza. Convergenza assoluta, totale, uniforme. Serie di Taylor e funzioni analitiche. Cfr. "Successioni e serie di funzioni, in compendio" in Moodle.
- Funzioni T-periodiche. Polinomi trigonometrici, serie trigonometriche. Coefficienti di Fourier, serie di Fourier associata ad una funzione 2pi-periodica. Funzioni pari o dispari, sviluppi rispettivi. Convergenza delle serie di Fourier: un risultato di convergenza in norma quadratica (s.d.), identita' di Parseval.
Nota:
I temi trattati in ciascuna lezione sono inseriti via via in un "Registro delle lezioni", consultabile dalla piattaforma Moodle, e direttamente dalla pagina personale della docente
http://www.dma.unifi.it/~fbucci (Teaching Activity, current Academic Year)