1) Numeri reali; 2) Limiti e continuita' per funzioni di una variabile; 3) Calcolo Differenziale; 4) Calcolo Integrale; 5) Serie Numeriche; 6) Equazioni Differenziali Ordinarie
1) "Note ed Esercizi di Calcolo 1" A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella. Pitagora, 2) Bologna Bertsch - Dal Passo - Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edi- zione, McGraw-Hill.
Obiettivi Formativi
Conoscenza teorica e pratica degli argomenti di base relativi alle funzioni reali di una variabile reale con particolare riferimento a limiti e continuita', serie numeriche, calcolo differenziale e integrale, equazioni differenziali lineari.
Prerequisiti
1) Aritmetica ed algebra. Proprieta' e operazioni sui numeri (interi, razionali, reali). Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi ed esponenziali. Calcolo letterale. Polinomi (operazioni, decomposizione in fattori). Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado o ad esse ridu- cibili. Sistemi di equazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni razionali fratte e con radicali. 2) Geometria. Segmenti ed angoli; loro misura e proprieta'. Rette e piani. Luoghi geometrici notevoli. Proprieta' delle principali figure geometriche piane (triangoli, circonferenze, cerchi, poligo- ni regolari, ecc.) e relative lunghezze ed aree. Propriet à delle principali figure geometriche solide (sfere, coni, cilindri, prismi, parallelepipedi, piramidi, ecc.) e relativi volumi ed aree della superficie. 3) Geometria analitica e funzioni numeriche. Coordinate cartesiane. Il concetto di funzione. Equazioni di rette e di semplici luoghi geometrici (circonferenze, ellissi, parabole, ecc.). Grafici e proprieta' delle funzioni ele- mentari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.). Calcoli con l'uso dei logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. 4) Trigonometria. Grafici e proprieta' delle funzioni seno, coseno e tangente. Le principali formule trigo- nometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione). Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relazioni fra elementi di un triangolo.
Metodi Didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali
Altre Informazioni
Altri testi
Giacomo Tommei
"Matematica di base", Apogeo Ed. 2010.
Giovanni Malafarina
"Matematica per i precorsi", McGraw-Hill 2003.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta pratica (o equivalentemente, due prove parziali, vedi oltre) in cui lo studente deve essere in grado di svolgere gli esercizi sul programma del corso e una prova teorica (scritta con eventuale integrazione orale) in cui lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali teoremi e definizioni fornite a lezione.
PROVE PARZIALI: Durante il Corso vengono svolte due prove parziali (in forma scritta).
Chi ottiene la media di 18 ed inoltre i voti ottenuti alla prima e alla seconda prova non sono inferiori, rispettivamente a 10 e a 12, può accedere direttamente alla prova teorica (e se lo richiede, a un colloquio orale) di uno degli appelli dell'a.a. 2018-2019.
L'esame mira a verificare, attraverso esercizi con svolgimento dettagliato, domande teoriche, esercizi brevi, colloqui col docente (all'orale):
- la capacità di usare in modo appropriato la terminologia della disciplina;
-la capacità di enunciare, dimostrare e applicare a esercizi specifici i principali teoremi e le definizioni fornite nel corso
Programma del corso
1) ELEMENTI DI BASE. Numeri reali e linguaggio: numeri naturali, interi, razionali, reali, allineamenti decimali; valore assoluto e distanza; intervalli; estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) di un insieme; proprieta' di completezza dei numeri reali; notazioni insiemistiche, quantifi catori, implicazioni, condizioni necessarie e condizioni su fficienti. Funzioni: defi nizione, immagine, grafi co e sue propriet a', convenzione sul dominio; restrizione di una funzione; estremo superiore (inferiore), massimo (minimo), punto di massimo (minimo); funzioni iniettive, suriettive, biunivoche; funzioni invertibili, funzioni inverse; funzioni composte e loro propriet a; gra ci delle funzioni elementari; funzioni mo- notone, pari, dispari, periodiche; operazioni sui gra ci; funzioni de nite a tratti. 2) LIMITI E CONTINUITA'. Limiti di successioni e di funzioni: de nfizione, unicit a' del li- mite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto; limiti di funzioni monotone; algebra dei limiti e forme indeterminate; simboli di Landau, in finiti e infi ni- tesimi e loro ordine, parte principale (rispetto a un dato campione); il numero e; limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali; asintoti. Continuit a': defi nizione; continuit a' delle funzioni elementari, di somma, prodotto, quo- ziente e della composizione; estensione per continuit a'; teorema degli zeri e del valore in- termedio; teorema di Weierstrass. 3) CALCOLO DIFFERENZIALE. Rapporto incrementale e suo signifi cato geometrico e fi sico. De nizione di derivata e sua interpretazione geometrica ed in termini di approssimazione. Retta tangente. Derivabilit a' e continuit a'. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspi- di, punti a tangente verticale. Funzione derivata e derivate di ordine superiore. Derivata delle funzioni elementari. Propriet a' delle derivate: somma, prodotto, diff erenza, quozien- te. Derivata della composizione o regola della catena. Derivata della funzione inversa e interpretazione geometrica. Teorema di Fermat, punti critici. Esistenza e calcolo degli estremi locali e globali di funzioni de finite sugli intervalli. Teoremi di Rolle e Lagrange. Primitive. Funzioni convesse (concave) e loro relazione con le derivate prime e seconde. Gra fici delle funzioni. Teoremi di de L'H^opital. Approssimazione di Taylor e sua applica- zione al calcolo dei limiti e dello studio locale delle funzioni. 4) INTEGRALI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Il concetto di area di figure piane. De finizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann. Relazione fra integrale e area. Classi di funzioni integrabili. Propriet a' dell'integrale. In- tegrale orientato. Funzioni integrali: defi nizione e loro continuit a'. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo (dimostrazione solo per le funzioni continue). Formula fondamentale del calcolo integrale. Ricerca delle primitive: integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali (con denominatore di grado 2). Area della parte di piano compresa fra il gra co di due funzioni. Integrabilit a' in senso improprio e assoluta integrabilit a' sulla semiretta e su un intervallo. Integrale improprio degli infi niti e in finitesimi di riferimento x^(-r). Criterio del confronto e del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni positive. 5) SERIE NUMERICHE. Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie re- golari e serie oscillanti. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica e armonica generalizzata. Serie a termini non negativi: criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio del rapporto e della radice. Serie a termini a segno alterno, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie. 6) EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni Di fferenziali Ordinarie (EDO) e il problema di Cauchy: de finizione di soluzione. Equazioni diff erenziali lineari del primo ordine: teo- ria generale e soluzioni. Equazioni diff erenziali lineari del secondo ordine: teoria generale, soluzioni delle equazioni omogenee a coe fficienti costanti, per le equazioni non omogenee si richiede la soluzione generale solo con suggerimenti atti a trovare la soluzione particolare.